채권 듀레이션 계산법 — Macaulay·수정 듀레이션·볼록성을 한 번에 이해하기
듀레이션이라는 말은 두 가지 뜻으로 쓰입니다. 하나는 「돈을 평균적으로 언제 돌려받는가」(Macaulay 듀레이션, 단위 년), 다른 하나는 「금리 1%p 에 가격이 몇 % 움직이는가」(수정 듀레이션)입니다. 둘은 식 하나로 이어지고, 볼록성이 그 오차를 메웁니다. 손으로 검산할 수 있는 3년짜리 채권 하나로 전부 따라가 보겠습니다.
1단계 — Macaulay 듀레이션: 현재가치로 가중한 평균 시점
Macaulay 듀레이션 = Σ (현금흐름 시점 t × 그 현금흐름의 현재가치) ÷ 채권 가격
현재가치 = 현금흐름 ÷ (1 + 수익률/연지급횟수)연지급횟수 × t
예제: 액면 1만원, 만기 3년, 표면금리 10%(연 1회 지급), 만기수익률 10%. 가격은 정확히 10,000원입니다.
| 시점 t(년) | 현금흐름 | 현재가치 | 가중치(PV÷가격) | t × 가중치 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1,000 | 909.09 | 0.0909 | 0.0909 |
| 2 | 1,000 | 826.45 | 0.0826 | 0.1653 |
| 3 | 11,000 | 8,264.46 | 0.8264 | 2.4793 |
| 합계 | 10,000.00 | 1.0000 | 2.7355년 |
원금이 3년 뒤에 몰려 있지만 중간 이자 때문에 평균 회수 시점은 3년보다 짧은 2.7355년입니다. 이자가 적을수록(저쿠폰) 원금 비중이 커져 듀레이션은 만기에 가까워집니다.
2단계 — 수정 듀레이션: 금리 민감도
수정 듀레이션 = Macaulay 듀레이션 ÷ (1 + 수익률/연지급횟수) = 2.7355 ÷ 1.10 = 2.4869
가격 변화율 ≈ −수정 듀레이션 × Δy
금리가 1%p 오르면 1차 근사로 −2.4869 × 0.01 = −2.487%입니다. 6개월 이표 국고채라면 (1 + 수익률/2)로 나눕니다. 운용사가 「듀레이션」만 적어 두었다면 Macaulay 인지 수정인지 확인하세요. 계산기 「금리 손익」 탭은 둘 중 무엇을 넣었는지 고르면 자동으로 환산합니다.
3단계 — 볼록성: 1차 근사의 오차를 메우는 항
볼록성 = Σ t × (t + 1/연지급횟수) × 현재가치 ÷ [가격 × (1 + 수익률/연지급횟수)²]
가격 변화율 ≈ −수정 듀레이션 × Δy + ½ × 볼록성 × Δy²
예제의 볼록성은 8.7562입니다. 금리 +1%p 의 세 값을 비교하면:
| 방법 | 가격 변화 |
|---|---|
| 1차 근사 (−MD·Δy) | −2.487% |
| 2차 근사 (+ ½·볼록성·Δy²) | −2.443% |
| 정확 (수익률 11%로 다시 할인) | −2.444% |
2차 근사가 정확값과 0.001%p 차이입니다. 교재에 따라 ½ 을 볼록성 정의 안에 넣어 「볼록성 × Δy²」로 쓰기도 하니, 남이 계산한 볼록성을 가져올 때는 어느 규약인지 먼저 확인하세요.
국내 채권 「단가」는 어떻게 계산하나 — 금투협 별표 14
국내 장외 채권 매매단가는 「금융투자회사의 영업 및 업무에 관한 규정」 제7-5조 제2항에 따라 별표 14 「채권수익률의 가격환산 산식」으로 계산하고, 산출된 단가의 원 미만은 절사합니다. 이표채는 이자지급 단위기간은 복리할인, 그 미만의 단수기간은 단리할인하고, 일자는 역일(윤년 366일)로 셉니다.
단가 = [ Σ 현금흐름k ÷ (1 + 수익률/연지급횟수)k ] ÷ (1 + 수익률/연지급횟수 × 단수기간 비율), 원 미만 절사
이 식으로 교보증권 채권교실 표(3년·3개월 이표)의 8,809원(표면 10%·수익률 15%), 8,717원(5%·10%), 11,282원(15%·10%)이 그대로 나옵니다. 표면 10%·수익률 5%는 11,384원으로 표의 11,385원과 1원 다릅니다(같은 페이지의 다른 표는 11,384원). 계산기 「듀레이션」 탭의 단가와 근사 정확도 표의 「정확」 열이 이 식입니다.
PVBP — 1bp 에 몇 원?
PVBP(price value of a basis point)는 금리가 0.01%p 움직일 때의 가격 변화입니다. 계산기는 단가식으로 ±1bp 를 다시 계산해 (P− − P+) ÷ 2 로 구합니다. 10년 4.5% 액면가 국고채는 액면 1만원당 7.98원/bp — 1억원어치면 금리 1bp 에 약 7만 9,800원이 움직입니다. 펀드 전체로는 「수정 듀레이션 × 투자금 × 0.0001」로 어림합니다.
저쿠폰 채권은 같은 만기라도 더 예민하다
표면금리 1.125%, 잔존 13년 국고채를 수익률 4.4%로 사면 단가는 6,783원이고 수정 듀레이션은 11.63년입니다. 만기가 더 짧은데도 10년 액면가 국고채(7.98년)보다 훨씬 깁니다. 이자가 적어 돈 대부분이 만기에 돌아오기 때문입니다. 세금 측면의 장점은 저쿠폰 국채가 예금보다 유리한 이유를 보세요. 예시 금리(2026.9 말 수준) · 가정값 · 본인 상품 조건 확인.
볼록성 단위 함정
- 운용사·데이터 화면에 따라 볼록성을 년² 그대로, ÷100 한 값, 반기 단위(연율화하려면 ÷4) 등으로 적습니다.
- 10년 액면가 국고채(볼록성 76.21)에 100배 값을 넣으면 금리 −1%p 결과가 +8.36% 에서 +46.09%로 부풀려집니다.
- 보통의 이표채는 볼록성이 대략 수정 듀레이션²~1.5배 수준입니다. 계산기는 이 범위를 크게 벗어나면 「단위 확인」 배지를 띄웁니다(휴리스틱). 콜옵션부 채권·MBS 는 음(−)의 볼록성이 나올 수 있습니다.
금리 인하 시나리오별 숫자는 금리 0.5%p 내리면 채권 ETF는 얼마나 오를까, 금리 상승 뒤 회복 기간은 이자로 본전 찾는 데 몇 달?에 있습니다. 모두 가정에 따른 계산이며 금리 예측이 아닙니다.
- Macaulay FR. Some Theoretical Problems Suggested by the Movements of Interest Rates, Bond Yields and Stock Prices in the United States since 1856. NBER; 1938. 제2장 「The Concept of Long Term Interest Rates」. 원문
- CFA Institute. 「Understanding Fixed-Income Risk and Return」. CFA Program Curriculum, Fixed Income. 원문
- Fabozzi FJ, Fabozzi FA. Bond Markets, Analysis, and Strategies. 10th ed. MIT Press; 2021. 원문
- 한국금융투자협회. 「금융투자회사의 영업 및 업무에 관한 규정」 제7-5조 제2항·별표 14 「채권수익률의 가격환산 산식」. 원문
- 교보증권. 「채권교실 — 채권수익률과 가격」. 원문