72의 법칙이란 — 돈이 두 배 되는 기간 계산, 정확한 공식과의 오차, 69.3의 법칙
72 ÷ 연수익률(%) = 돈이 두 배 되는 햇수. 6%면 12년, 4%면 18년, 3%면 24년. 암산 한 번으로 복리의 속도를 가늠하게 해 주는 이 규칙이 어디서 왔고, 정확한 값과 얼마나 다르며, 언제 69.3을 대신 써야 하는지 정리했습니다.
유래 — 1494년 파치올리의 상업 산술서
72의 법칙은 이탈리아 수학자 루카 파치올리(Luca Pacioli)가 1494년 베네치아에서 펴낸 Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita의 상업 산술 부분에 실려 있습니다(복식부기를 처음 체계적으로 기술한 책이기도 합니다). 다만 파치올리는 "이자로 72를 나누면 그 햇수만큼 지나 원리금이 두 배가 된다"고 규칙을 제시했을 뿐 도출하거나 설명하지 않았고, 그래서 규칙 자체는 파치올리보다 앞선 시기에 이미 쓰이고 있었을 것으로 봅니다. 즉 현재까지 알려진 이른 시기의 문헌 기록이지 규칙의 출발점은 아닙니다. 72가 분자로 굳은 이유는 근사 정확도와 함께 작은 약수가 많아서(1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12) 흔한 금리로 나누기 쉽기 때문입니다.
정확한 공식 — (1+r)^n = 2 풀기
연복리 r로 원금이 두 배가 되는 햇수 n은 (1+r)^n = 2에서 나옵니다. 양변에 자연로그를 취하면:
- r이 작으면 ln(1+r) ≈ r 이므로 n ≈ 0.693/r = 69.3 / r(%). 이것이 연속복리(또는 아주 낮은 금리)에서 정확한 "69.3의 법칙"입니다.
- 실제 이산 연복리에서는 ln(1+r)이 r보다 조금 작아 n이 69.3/r보다 길어지는데, 금리 6~10% 근처에서 그 보정이 대략 72/r에 맞습니다. 그래서 72가 "실무용 상수"가 됐습니다.
금리대별 오차 표 (연복리 기준)
표의 마지막 정확 분자 열은 "이 금리에서 오차가 0이 되려면 분자가 얼마여야 하는가"(= 수익률 × 정확값)입니다. 이 값이 72에 가까울수록 72의 법칙이 잘 맞고, 어떤 분자를 쓰는 게 유리한지도 이 열만 보면 판단할 수 있습니다.
| 연수익률 | 72의 법칙 | 정확값 ln2/ln(1+r) | 69.3의 법칙 | 72 − 정확값 | 정확 분자 (수익률 × 정확값) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1% | 72.00년 | 69.66년 | 69.30년 | +2.34년 | 69.66 |
| 2% | 36.00년 | 35.00년 | 34.65년 | +1.00년 | 70.01 |
| 3% | 24.00년 | 23.45년 | 23.10년 | +0.55년 | 70.35 |
| 4% | 18.00년 | 17.67년 | 17.33년 | +0.33년 | 70.69 |
| 5% | 14.40년 | 14.21년 | 13.86년 | +0.19년 | 71.03 |
| 6% | 12.00년 | 11.90년 | 11.55년 | +0.10년 | 71.37 |
| 8% | 9.00년 | 9.01년 | 8.66년 | −0.01년 | 72.05 |
| 10% | 7.20년 | 7.27년 | 6.93년 | −0.07년 | 72.73 |
| 12% | 6.00년 | 6.12년 | 5.78년 | −0.12년 | 73.40 |
| 15% | 4.80년 | 4.96년 | 4.62년 | −0.16년 | 74.39 |
| 20% | 3.60년 | 3.80년 | 3.47년 | −0.20년 | 76.04 |
- 3~10% 구간: 오차 0.6년 이내(3%에서 +0.55년이 최대) — 암산용으로 충분합니다. 8% 근처에서는 정확 분자가 72.05로 72와 거의 같습니다.
- 저금리(1~2%): 72는 실제보다 1~2.3년 길게 잡습니다. 정확 분자가 69.7~70.0이라 69.3/r 쪽이 훨씬 가깝습니다(1%: 정확 69.66년, 69.3의 법칙 69.30년).
- 고수익률(>10%): 72는 실제보다 짧게 잡습니다(12%에서 −0.12년, 20%에서 −0.20년). 오차 폭은 약 19.7%까지 0.2년 안쪽이고 그보다 높은 수익률에서는 조금씩 커지지만(25%에서 −0.23년, 30%에서 −0.24년) 어느 구간에서도 0.3년을 넘지는 않습니다. 따라서 분자를 크게 바꾸기보다 정확식을 쓰거나 73처럼 조금만 키운 값을 쓰는 편이 낫습니다.
- "고금리에는 78" 은 어디서부터 맞나: 72와 78 중 어느 쪽이 가까운지는 정확 분자가 둘의 중점인 75를 넘느냐로 갈립니다. 표에서 정확 분자가 75를 넘는 지점은 15%(74.39)와 20%(76.04) 사이, 즉 약 17%부터입니다. 따라서 10~17% 구간에서는 78이 아니라 72가 더 정확합니다(12%: 72는 오차 −0.12년, 78은 +0.38년). 그보다 높은 수익률 가정을 다룬다면 근사 대신 정확식 ln2/ln(1+r)을 쓰세요.
역방향 — "10년 안에 두 배"가 되려면 몇 %?
10년이면 72/10 = 7.2%, 정확값 2^(0.1) − 1 = 7.18%. 7년이면 72/7 ≈ 10.3%, 정확값 10.41%. 반대로 "연 4%짜리 상품으로 두 배"는 18년(정확 17.67년)이 걸린다는 뜻이니, 목표 기간이 짧을수록 요구 수익률이 가파르게 올라갑니다.
n번 배증하면 얼마 — 복리의 실제 모양
배증 기간 T가 정해지면 2T 뒤엔 4배, 3T 뒤엔 8배입니다. 연 6%·1,000만원이면 약 12년 뒤 2,000만, 24년 뒤 4,000만, 36년 뒤 8,000만원. 계산기의 배증 표는 이 k회 배증 시점(정확값·72 근사)과 금액을 나란히 보여줍니다.
72의 법칙이 말하지 않는 것
- 세금·수수료: 이자소득 원천징수세(소득세법 제129조 14% + 지방세법 제103조의13 지방소득세 1.4% = 예시 15.4%, 변동 가능)나 펀드 보수를 빼면 실제 배증은 더 오래 걸립니다. 세후 수익률로 다시 나눠 보세요.
- 물가: 명목 두 배가 실질 두 배는 아닙니다. 물가 2%면 명목 6%의 실질 수익률은 약 3.9%, 실질 배증에 18년쯤 걸립니다.
- 수익률 변동: 매년 일정한 수익률을 가정한 근사입니다. 실제 투자수익률은 변동하며 손실도 납니다.
- 연복리 가정: 월복리 상품이면 실효 연이율로 환산해 넣어야 합니다.
- Pacioli L. Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita. Venice; 1494. 개요: Wikipedia, Summa de arithmetica. 원문
- Wikipedia. Rule of 72 — History(Pacioli 가 도출·설명 없이 제시, 규칙은 그보다 앞선 것으로 추정) · Choice of rule(72는 작은 약수 1·2·3·4·6·8·9·12 가 많아 편리, 연복리 6~10%에서 좋은 근사, 저금리에서는 69.3이 더 정확) · Rate × Actual Years 표(위 표의 '정확 분자' 열 출처). 원문
- U.S. News & World Report. The Rule of 72: How to Double Your Money in 7 Years. 원문
- Banzai. The Rule of 72. 원문
- Dancy M. eCampusOntario Pressbooks. Financial Math (Math 1175) — 1.2 Calculating the Future Value (Formula 1.3 FV = PV × (1+i)^n); 2023. 원문
- 「소득세법」 제129조(원천징수세율) 제1항제1호라목. 국가법령정보센터. 원문
- 「지방세법」 제103조의13(특별징수의무) 제1항. 국가법령정보센터. 원문