내재변동성 계산은 왜 「역산」일까 — 시장가 8.50에서 IV 17.41%를 찾는 과정과 IV가 안 나오는 경우

블랙-숄즈 공식에 변동성을 넣으면 옵션 가격이 나옵니다. 내재변동성(IV)은 그 반대 — 시장에서 거래되는 가격을 넣었을 때 공식이 그 값을 내도록 하는 변동성입니다. 문제는 이 식을 σ에 대해 거꾸로 정리할 수 없다는 점입니다. 그래서 IV는 「계산」이 아니라 「역산」, 즉 반복해서 찾아가는 값입니다.

1. 왜 반복 계산이 필요한가

콜 가격식 C = S·e^−qTN(d1) − K·e^−rTN(d2)에서 σ는 d1·d2 안, 그것도 정규분포 누적함수 N(·) 안에 들어 있어 σ = (가격의 식) 꼴로 풀리지 않습니다. 대신 좋은 성질이 하나 있습니다. 다른 입력이 같으면 σ가 클수록 가격이 계속 커집니다(베가 > 0). 그래서 시장가와 같은 가격을 내는 σ는 있으면 딱 하나이고, 가격이 너무 크면 σ를 낮추고 작으면 높이면서 찾아갈 수 있습니다.

예시(지수 400·행사가 400·30일·금리 3.25%·배당 0)에서 σ별 콜 이론가는 15% → 7.3995pt, 17.5% → 8.5395pt, 20% → 9.6798pt입니다. 시장가가 8.50pt라면 IV는 17.5%보다 조금 낮은 곳에 있습니다. 기초자산 400은 계산용 예시 지수입니다.

2. 출발점 — 브레너-수브라마니암 근사

Brenner & Subrahmanyam(1988)은 등가격 옵션의 가격과 변동성 사이의 간단한 근사 관계를 제시했습니다. 이를 σ에 대해 쓰면 다음과 같습니다.

C 8.50, S 400, T = 30/365를 넣으면 √(2π ÷ 0.082192) × 8.50 ÷ 400 = 18.5795%입니다. 행사가가 지수 근처일 때 쓸 만한 출발점이지만 정답은 아닙니다. 등가격에서 멀어질수록 크게 빗나갑니다.

3. 뉴턴-랩슨 — 두 번 만에 17.4135%

Manaster & Koehler(1982)는 블랙-숄즈 내재변동성을 뉴턴-랩슨 반복으로 구하는 방법을 다뤘습니다. 매 단계에서 「가격 차이 ÷ 베가」만큼 σ를 고칩니다.

첫 단계의 베가는 45.61(σ 1.00당 포인트)이라 0.531861 ÷ 45.61 ≈ 0.0117, 즉 1.17%p를 내립니다. 등가격 근처에서는 가격이 σ에 거의 직선으로 반응해 이렇게 빨리 끝납니다. 같은 조건에서 풋 시장가 7.00pt의 IV는 16.4642%, 외가격 행사가 420 콜 1.20pt는 14.7121%(6회)입니다.

계산기는 여기에 안전장치를 하나 더 둡니다. 매 단계 σ가 들어 있어야 할 구간(하한·상한)을 좁혀 두고, 뉴턴 다음 값이 그 구간을 벗어나거나 베가가 0에 가까우면 구간의 가운데(이분법)로 갑니다. 출발점이 엉뚱해도 결국 수렴합니다.

4. IV가 아예 없는 경우 — 무차익 경계

어떤 σ를 넣어도 블랙-숄즈 가격이 닿지 않는 구간이 있습니다. 유럽형 옵션은 차익거래가 없다면 다음 범위 안에 있어야 합니다(Merton 1973의 가격 경계).

행사가 380 콜의 시장가를 19.00pt라고 넣어 보면, 하한은 400 − 380 × e^{−0.0325×30/365} = 21.0137pt입니다. 19.00pt는 이보다 낮아 σ를 0에 가깝게 줄여도 이론가가 21.01pt 밑으로 내려가지 않습니다. 이때 계산기는 「IV 없음」으로 판정합니다. 실제 시장에서 이런 숫자가 나왔다면 차익 기회라기보다 입력 실수(행사가·잔존일수), 배당 가정, 시세 시각 불일치를 먼저 의심하는 편이 맞습니다.

5. 극외가 옵션의 IV는 1틱에도 크게 흔들린다

행사가 460 콜(지수보다 15% 위)의 시장가 0.01pt에서 IV를 구하면 16.3521%가 나옵니다. 초기값 근사는 0.02%로 터무니없이 작아 이분법이 개입했고, 11회 만에 수렴했습니다. 그런데 가격이 1틱 오른 0.02pt면 IV는 17.4592%로 1.1%p 넘게 뜁니다. 등가격 콜은 8.50 → 8.51pt로 1틱 올라도 IV가 17.4135% → 17.4354%로 0.02%p만 움직입니다. 극외가는 베가가 아주 작아서, 가격의 작은 차이가 큰 σ 차이로 번역됩니다. 극외가 IV를 비교할 때는 호가 단위의 한계를 감안하세요.

6. 같은 행사가인데 콜 IV ≠ 풋 IV — 패리티 괴리

위 예시에서 콜 8.50pt의 IV는 17.41%, 풋 7.00pt는 16.46%였습니다. 같은 행사가·만기라면 풋-콜 패리티(Stoll 1969) C − P = S·e^−qT − K·e^−rT 때문에 두 IV가 같아야 합니다. 이론값 우변은 1.067067pt인데 시장 C − P는 1.50pt라 괴리 +0.432933pt, 1계약 원화로 108,233원입니다.

이 괴리를 없애는 배당수익률을 거꾸로 구하면 q = −ln[(C − P + K·e^−rT) ÷ S] ÷ T = −1.3161%입니다. 배당이 음수일 리는 없으니, 이 숫자는 입력한 금리·배당 가정이 시장 가격과 맞지 않거나 콜·풋 가격의 시각·호가가 다르다는 신호로 읽는 것이 맞습니다. 이 결과는 차익거래 권유가 아닙니다 — 거래비용·증거금·체결 위험이 빠져 있습니다.

7. IV를 읽을 때의 단서

• IV는 블랙-숄즈 모형을 전제로 한 값입니다. 모형이 다르면 같은 가격에서 다른 변동성이 나옵니다.
• 「IV가 높다 = 옵션이 비싸다」는 같은 모형·같은 만기·비슷한 행사가끼리 비교할 때만 의미가 있습니다. 행사가별로 IV가 다른 것(스마일)은 시장의 정상적인 모습입니다.
• VKOSPI 같은 변동성 지수와 비교하려면 그 값을 직접 확인해 넣으세요. 계산기는 비교만 할 뿐 시세를 가져오지 않습니다.

변동성 가정 하나가 결과를 크게 바꾸는 다른 예는 ELS입니다 — ELS 녹인 확률 계산기. 이론가 계산 과정 자체는 블랙-숄즈 공식 해설을, IV로 구한 그릭스를 원화로 읽는 법은 그릭스 원화 해설을 보세요.