블랙-숄즈 공식, 코스피200 옵션 하나로 끝까지 계산해 보기 — d1·d2부터 1계약 241만원까지
블랙-숄즈 공식은 다섯 가지 숫자(기초자산가·행사가·만기·변동성·금리)로 유럽형 옵션의 이론가를 냅니다. 이 글은 예시 지수 400의 코스피200 등가격 콜 하나를 골라 d1·d2부터 1계약 원화 금액까지 직접 계산합니다. 400은 계산하기 쉬운 예시값이고 현재 지수가 아닙니다.
1. 코스피200옵션에 블랙-숄즈를 쓸 수 있는 이유 — 유럽형·현금결제
블랙-숄즈(Black & Scholes 1973)는 만기에만 권리를 행사하는 유럽형 옵션의 가격식입니다. 코스피200옵션이 바로 그 유형입니다.
「주가지수옵션거래 권리행사의 유형은 최종거래일에만 권리행사를 할 수 있는 유형으로 한다.」
결제도 주식을 주고받지 않고 돈으로 합니다. 업무규정 제21조 제1항은 권리행사결제를 「권리행사차금(행사가격과 권리행사결제기준가격과의 차이에 권리행사결제수량 및 거래승수를 곱하여 산출되는 금액을 말한다. 이하 같다)을 수수하는 방법으로 한다」고 정합니다. 그래서 만기 가치는 콜이면 max(최종 지수 − 행사가, 0), 풋이면 max(행사가 − 최종 지수, 0)에 승수를 곱한 금액입니다.
2. 입력값 여섯 개
| 기호 | 뜻 | 예시값 |
|---|---|---|
| S | 기초자산가 (코스피200 지수) | 400 (예시) |
| K | 행사가 | 400 (등가격) |
| T | 잔존기간 (년) | 30일 ÷ 365 = 0.082192 |
| σ | 연 변동성 | 20% |
| r | 무위험금리 (연속복리) | 3.25% (2026-10 중순 CD91 무렵 예시 — ECOS에서 확인) |
| q | 배당수익률 | 0% |
배당수익률 q를 넣는 확장은 머튼(Merton 1973)의 연속 배당 모형입니다. q = 0이면 블랙-숄즈 원식과 같습니다.
3. d1과 d2
d1 = [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)T] ÷ (σ√T), d2 = d1 − σ√T
콜 C = S·e−qT·N(d1) − K·e−rT·N(d2)
풋 P = K·e−rT·N(−d2) − S·e−qT·N(−d1)
- ln(S/K) = ln(400/400) = 0 (등가격)
- (r + σ²/2)T = (0.0325 + 0.02) × 0.082192 = 0.004315
- σ√T = 0.20 × √0.082192 = 0.20 × 0.286691 = 0.057338
- d1 = 0.004315 ÷ 0.057338 = 0.075256, d2 = 0.075256 − 0.057338 = 0.017918
N(·)은 표준정규분포 누적확률입니다. N(d1) = 0.529995, N(d2) = 0.507148입니다. N(d2)는 위험중립 세계에서 만기에 콜이 내가격으로 끝날 확률로 해석되고, N(d1)은 콜의 델타입니다.
4. 콜 이론가 9.68pt
- K·e−rT = 400 × e−0.0325×0.082192 = 400 × 0.997332 = 398.932933
- S·N(d1) = 400 × 0.529995 = 211.997860
- K·e−rT·N(d2) = 398.932933 × 0.507148 = 202.318016
- C = 211.997860 − 202.318016 = 9.679844pt
변동성을 바꾸면 이론가가 크게 움직입니다. 다른 입력은 그대로 두고 σ만 바꾸면 이렇습니다.
| 변동성 σ | 콜 이론가 | 1계약 (× 25만) |
|---|---|---|
| 15% | 7.3995pt | 1,849,865원 |
| 17.5% | 8.5395pt | 2,134,867원 |
| 20% | 9.6798pt | 2,419,961원 |
다섯 입력 중 시장에서 바로 보이지 않는 것은 변동성 하나뿐입니다. 거꾸로 시장가에서 변동성을 찾는 방법은 내재변동성 역산 글에서 다룹니다.
5. 풋은 풋-콜 패리티로 검산한다
C − P = S·e−qT − K·e−rT
우변은 400 − 398.932933 = 1.067067입니다. 따라서 P = 9.679844 − 1.067067 = 8.612777pt로, 풋 공식을 직접 계산한 8.612776pt와 반올림 차이 안에서 같습니다. 같은 행사가·만기의 콜과 풋은 따로 노는 값이 아니라 이 관계로 묶여 있습니다. 계산기에서 「패리티 잔차」가 0으로 나오는 것도 이 검산입니다.
공식 구현이 맞는지 확인하는 다른 방법은 교과서 예제 재현입니다. Hull 교재의 예제(S 42·K 40·6개월·σ 20%·r 10%)를 같은 식에 넣으면 콜 4.7594·풋 0.8086으로, 교재에 실린 4.76·0.81이 나옵니다.
6. 포인트를 원화로 — 거래승수 25만
「규정 제19조에 따른 주가지수옵션거래의 거래승수는 다음 각 호의 구분에 따른 수치로 한다. 1. 코스피200옵션거래의 경우: 25만 2. 미니코스피200옵션거래의 경우: 5만 3. 코스닥150옵션거래의 경우: 1만」
옵션 가격 1포인트가 25만원이라는 뜻입니다. 콜 9.679844pt × 250,000 = 2,419,961원, 풋 8.612776pt × 250,000 = 2,153,194원이 1계약의 이론가입니다. 같은 계산을 미니코스피200옵션(승수 5만)으로 하면 콜 1계약은 483,992원입니다.
실제 주문은 호가가격단위로 끊어 냅니다. 시행세칙 제6조의2 제2항은 코스피200옵션 호가가 「10포인트 미만인 경우: 0.01포인트」, 「10포인트 이상인 경우: 0.05포인트」라고 정합니다. 9.679844pt는 9.68pt로, 1계약 2,420,000원이 됩니다. 한 호가 차이는 한국거래소 상품명세의 「최소가격변동금액」 기준 「2,500원(25만X0.01 포인트)」입니다.
7. 이론가가 시장가와 다른 이유
- 변동성은 일정하지 않다 — 모형은 만기까지 σ가 하나라고 가정하지만, 시장은 행사가마다 다른 변동성(스마일)을 반영해 가격을 매깁니다.
- 연속 거래·거래비용 없음 — 호가 스프레드·수수료·증거금은 식에 없습니다.
- 입력값의 불확실성 — 금리·배당은 사용자가 고른 값이고, 잔존일수도 휴장일에 따라 달라집니다(최종거래일은 결제월 두 번째 목요일, 휴장일이면 앞당김 — 시행세칙 제7조 제1항).
그래서 이론가는 「이 가정이라면 공정한 값」일 뿐 매매 신호가 아닙니다. 1계약의 델타·세타를 원화로 읽는 방법은 그릭스 원화 해설에 정리했습니다.
- Black F, Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy. 1973;81(3):637-654. doi:10.1086/260062. RePEc
- Merton RC. Theory of Rational Option Pricing. The Bell Journal of Economics and Management Science. 1973;4(1):141-183. doi:10.2307/3003143. JSTOR
- Stoll HR. The Relationship Between Put and Call Option Prices. The Journal of Finance. 1969;24(5):801-824. doi:10.1111/j.1540-6261.1969.tb01694.x. EconPapers
- Hull JC. Options, Futures, and Other Derivatives. 11th ed. Pearson; 2022. Pearson
- 한국거래소. 「파생상품시장 업무규정 시행세칙」 제6조의2·제7조 [제164차 일부개정 2026. 7. 6. 세칙 제2474호]. KRX 법무포털(규정명 검색)
- 한국거래소. 「파생상품시장 업무규정」 제19조·제21조 [제42차 일부개정 2026. 6. 29. 규정 제2432호]. KRX 법무포털(규정명 검색)
- 한국거래소. 코스피200 옵션 상품명세. 한국거래소
- 한국은행 경제통계시스템(ECOS). CD(91일) 수익률. ECOS