ELS 낙인 확률은 어떻게 계산하나 — 배리어 터치 공식과 「일별 종가」 보정
ELS 녹인(Knock-In, 흔히 “낙인”) 확률은 “기초자산 가격이 만기 전까지 한 번이라도 KI 선 아래로 내려갈 확률”입니다. 지수 하나라면 기하브라운운동 가정 아래 닫힌 공식으로 바로 나오고, 실제 약관처럼 일별 종가로만 확인한다면 배리어를 살짝 아래로 옮기는 보정을 합니다. 하지만 지수 셋 중 하나만 닿아도 녹인인 worst-of 구조는 공식이 없어 상관을 넣은 몬테카를로로 계산해야 합니다.
1. 녹인(KI)은 “종가 기준, 한 번이라도”
NH투자증권 ELS 제24332회(KOSPI200·S&P500·EuroStoxx50, 3년) 투자설명서는 손실 조건을 「투자기간 중 종가 기준으로 최초기준가격의 45% 미만으로 하락한 기초자산이 있는 경우」로 적고, 투자기간을 「최초기준가격 평가일(불포함)부터 만기평가일(포함) 까지」로 정합니다. 세 가지가 중요합니다.
- 종가 기준 — 장중 저점이 아니라 매 거래일 종가로 판정합니다. 그래서 연속 관측 공식보다 확률이 조금 낮습니다(3절).
- 한 번이라도 — 한 번 KI 아래 종가가 찍히면 이후 지수가 회복해도 녹인 사실은 사라지지 않습니다. 다만 그 뒤 조기상환·만기 배리어를 회복하면 약정 수익을 받습니다.
- 하나라도 — 기초자산이 셋이면 셋 중 어느 하나만 KI 아래로 내려가도 녹인입니다(worst-of).
녹인이 났다고 곧바로 손실이 확정되는 것도 아닙니다. 24332회는 만기평가가격이 모두 최초기준가격의 70% 이상이면 「연 6.200% (만기시 18.600%)」를 주고, 70% 미만이면서 녹인이 있었을 때만 「가장 낮은 기초자산의 하락률」만큼 손실이 납니다.
2. 지수 하나일 때 — 닫힌 공식
지수 S가 연 기대 가격상승률 m, 연 변동성 σ의 기하브라운운동을 따른다고 하면, 남은 기간 τ 동안 최소값이 KI 수준 K 아래로 내려갈 확률은 다음과 같습니다. 배리어 옵션 가격 공식(Rubinstein·Reiner 1991, 「Breaking Down the Barriers」)이 쓰는 최소값 분포와 같은 식입니다.
P = N((b − ντ) / σ√τ) + e2νb/σ² · N((b + ντ) / σ√τ)
b = ln(K / x0) (x0 = 현재가 ÷ 최초기준가격, 신규 가입이면 1), ν = m − σ²/2, N = 표준정규 누적분포
m = σ²/2 로 두어 ν = 0 이면 식은 반사원리의 P = 2·N(b / σ√τ) 로 줄어듭니다. 예를 들어 KI 45%·3년·변동성 25%·m = 0 이면 연속 관측 확률은 9.55%입니다(이 사이트 계산).
3. 「일별 종가」면 배리어를 아래로 옮긴다
연속 공식은 지수를 쉬지 않고 지켜본다는 가정이라, 하루에 한 번 종가만 보는 실제 약관보다 확률을 과대평가합니다. Broadie·Glasserman·Kou(1997)는 실제 배리어 계약 상당수가 감시 시점을 정해 두며 그것이 「typically, daily closings」라고 지적하고, 연속 공식에서 배리어를 기초자산에서 멀어지는 방향으로 eβσ√Δt 배 옮기는 보정(β ≈ 0.5826)을 제안했습니다. 녹인처럼 아래쪽 배리어라면 K′ = K·e−0.5826·σ·√(1/252) 로 낮춰 같은 공식에 넣습니다.
| KI 45% · 3년 · σ 25% · m 0 | 확률 |
|---|---|
| 연속 관측 공식 | 9.55% |
| BGK 보정(일별 종가) | 9.15% |
| 일별 종가 몬테카를로(40,000경로) | 9.22% |
보정식은 일별 시뮬레이션과 시뮬레이션 오차 범위 안에서 맞고(KI 45%·변동성 25%·3년: 9.15% vs 9.22%), 보정하지 않은 연속식은 늘 더 높게 나오고, 그 차이는 변동성이 크고 KI 가 높을수록 커집니다(KI 45%·변동성 25%·3년: 연속 9.55% vs 보정 9.15%로 약 0.4%p, KI 60%·변동성 30%·m 5%·3년: 연속 31.6% vs 보정 30.6%·일별 시뮬레이션 약 30.5~31.0%로 약 0.6~1.1%p). 차이는 크지 않지만 방향이 늘 같으므로, 보유 중인 ELS 의 남은 기간 녹인 확률을 볼 때는 보정값을 쓰는 편이 약관에 맞습니다.
4. 지수가 셋이면 공식이 안 되는 이유 — 상관
24332회 투자설명서는 이론가격 산출에 쓴 변동성(「KOSPI200 : 변동성 26.98%」, 「S&P500 : 변동성 24.2%」, 「EuroStoxx50 : 변동성 21.99%」)과 일별 수익률 상관계수(KOSPI200–S&P500 −0.0228, KOSPI200–EuroStoxx50 0.4591, S&P500–EuroStoxx50 0.2551)를 공개합니다. 이 값으로 조기상환이 없다고 보고 3년 녹인 확률을 계산하면 다음과 같습니다.
| 계산 | 3년 녹인 확률 |
|---|---|
| KOSPI200 단독(일별 보정 공식) | 12.29% |
| S&P500 단독 | 7.97% |
| EuroStoxx50 단독 | 5.05% |
| 셋 중 하나라도 — 공시 상관(몬테카를로) | 21.53% |
| 셋 중 하나라도 — 상관 0 가정 | 23.11% |
| 셋 중 하나라도 — 상관 0.8 가정 | 15.57% |
“하나라도” 확률은 상관과 무관하게 가장 큰 단독 확률(12.29%)과 세 확률의 합(25.31%) 사이에 있습니다. 그 안의 어디인지는 상관이 정합니다 — 지수끼리 덜 같이 움직일수록 “누군가 하나는 깊이 빠질” 확률이 커집니다. 이 결합 분포는 닫힌 해가 없어서, 촐레스키 분해로 상관을 넣은 일별 경로를 수만 개 만들어 세는 몬테카를로가 표준 방법입니다.
실제 상품에서는 조기상환이 이 확률을 줄입니다. 같은 24332회 구조(85-85-80-80-75-70, 6개월 평가)로 m = 0 을 가정하면 첫 6개월에 56%가 상환되어 끝나기 때문에, 상환 전에 녹인을 맞는 확률은 12.9%로 떨어집니다(20,000경로, 이 사이트 계산).
5. 변동성이 확률을 가장 크게 바꾼다
단일 지수, 3년, m = 0, 일별 종가 보정 기준입니다. 같은 KI 라도 변동성이 5%p 오르면 확률이 두세 배씩 뛰는 구간이 있습니다.
| 연 변동성 | KI 45% | KI 50% | KI 60% |
|---|---|---|---|
| 15% | 0.29% | 1.01% | 6.03% |
| 20% | 2.96% | 6.06% | 17.28% |
| 25% | 9.15% | 14.66% | 29.40% |
| 30% | 17.48% | 24.42% | 40.20% |
| 35% | 26.36% | 33.85% | 49.28% |
- 공식과 시뮬레이션 모두 변동성이 일정하고 급락(점프)이 없는 기하브라운운동 가정입니다. 실제 급락장에서는 녹인 확률이 이보다 커질 수 있습니다.
- m(배당 제외 지수의 기대 가격상승률)은 가정입니다. 0%는 “오르지도 내리지도 않는다고 본다”는 중립 가정이지 예측이 아닙니다.
- 공시 변동성은 발행 시점의 시장 변수입니다. 지금 확률을 보려면 최근 내재변동성으로 바꿔 넣으세요.
녹인 확률이 곧 손익은 아닙니다. 조기상환 확률이 높아도 손실이 나면 평균 손실 폭이 커서 기대값은 예금보다 낮을 수 있습니다 — 「이길 확률 87%」인데 기대값은 예금보다 낮은 이유를 보세요. 세금은 ELS 세금 15.4%의 정체에서 정리했습니다.
- Rubinstein M, Reiner E. Breaking Down the Barriers. RISK. 1991;4(8):28–35. 서지
- Broadie M, Glasserman P, Kou S. A Continuity Correction for Discrete Barrier Options. Mathematical Finance. 1997;7(4):325–348. doi:10.1111/1467-9965.00035 저자 사본 PDF
- NH투자증권. 파생결합증권(ELS) 제24332회 등 일괄신고추가서류. 한국거래소 KIND, 2025.12.30. 원문
- 「자본시장과 금융투자업에 관한 법률」 제4조제2항제5호·제7항(파생결합증권) [법률 제21857호, 2026.10.2. 시행]. 국가법령정보센터. 원문